kReese.net

The Karush-Kuhn-Tucker (KKT) skilyrði, stundum nefndur Kuhn-Tucker skilyrðin, eru þau skilyrði sem línuleg forritun vandamál þurfa að uppfylla til að vera best. The KKT skilyrði framlengir aðferð Lagrangian margfaldarar með því að leyfa fyrir þvingun misrétti, öfugt við Lagrange Margfaldarar sem einungis leyfa jafnrétti þvingun.

Lítum á línuleg hámörkunarvanda:

Lágmarka $f(x)$
með fyrirvara um: $g_{i}(x)\leq 0 \\ h_{j}(x) = 0$

Við munum láta $x^{*}$ tákna ættingja lágmark fyrir vandamál okkar, sem uppfyllir einnig nokkur þvingun hæfi. Með þessari, þá getum við gert ráð fyrir að fyrir hvert frumefni þar til er vigur $\lambda_j \left ( j = 1, \ldots, l \right )$ , þar sem á táknar fjölda þvingun jafnrétti, og $\mu_i\left ( i = 1, \ldots, m \right )$ , þar sem m táknar fjölda þvingun misrétti. Þessir fastar, $\lambda_j$ og $\mu_i$ , eru kallaðir KKT margfaldarar.

Til að KKT skilyrði sem haldin á línuleg forritun vandamál (UFO), þá hver þrjár forsendur þurfa að vera uppfyllt [1-4]. The Primal restates Frummats hvað vandamálið ríki, að misrétti og jafnrétti þvingun á $x^*$ þarf að uppfylla til þess að vandamál að vera best:

$\left.\begin{matrix} h\left ( x^* \right )=0\\ g\left ( x^* \right )\leq0 \end{matrix}\right\} \textrm{primal feasibility (PF)}$

Annað ástand er þekkt sem tvískiptur hagkvæmni ástand. Í þessu ástandi segir, frekar verbosely, að sérhver þáttur í $\mu_i$ verður að vera hærri en núll, og að stationarity á vandamálinu skulu vera jöfn 0.

$\left.\begin{matrix} \bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0\\ \lambda_i \in \mathbb{R}\\ \mu_i \geq 0 \end{matrix}\right\}\textrm{dual feasibility (DF)}$

The stationarity af vandamálinu er:

$\bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0$

En hinar tvær eru einfaldlega aðstæður sem L og m verða að uppfylla til þess að $x^*$ að vera best.

Þriðja skilyrði sem verður að uppfylla er þekktur sem viðbót slackness. Þetta ástand segir einfaldlega að fyrir hvert MU og viðkomandi misrétti þvingun sinni, margfeldi tveggja ætti að leiða í núll:

$\mu_i g_{i} \left ( x^* \right ) = 0$

Þegar þessir þrír skilyrði eru uppfyllt, Við höfum uppfyllt KKT skilyrði og lausn okkar, $x^*$ , er besta lausnin fyrir NLP vandamál. Það kannski fleiri en eitt x í rúm sem uppfylla skilyrði. Allir benda á vandamál rými þar sem hver þáttur íLogm, þannig að línu (x, L, m) uppfylla KKT skilyrði eru kallaðir KKT punkta. Afleiðslu af þessum þvingun er að finna í [1,2]

Þvingun Hæfni

Eins og fram kemur fyrr, þeim stöðum sem við erum að prófa að kynnast hæfi til þess að benda til að teljast. The heilbrigður þekktur þvingun HM er Línuleg Sjálfstæðisflokkurinn þvingun HM (Licq), sem segir einfaldlega að $h_{j}(x^*)$ og $g_{i}(x^*)$ eru línulega óháð öðrum í stað $x^*$ . The Mangasarian-Fromovitz þvingun hæfi (MFCQ) ríkjum álíka á LICQ með því að bæta að vera jákvæð-lineraly sjálfstæður í $x^*$ . [5]

Það eru hins vegar önnur þvingun undankeppni að slaka á LICQ. The Slater þvingun undankeppni hægt að nota í kúptar vandamál. Ef til er lið x þannig að $h_{j}(x^*) =$ og $g_{i}(x^*) < 0$ fyrir öll i,J virk í $x^*$ , þá heldur ákveða skilyrði. [5,6]

Aðrar tegundir undankeppni þvingun ekki til, en þessir þrír virðast til vera the almennt notaður í KKT hæfi.

[1] Kuhn, H. og Tucker, A., “Línuleg Forritun” Gerist á 2. Berkeley Symposium 1951, PP. 481-492.
[2] Karush, W., “Lágmarks aðgerðir af ýmsum breytum við misrétti sem þvingun Side”. M. Sc. Ritgerð, Univ. of Chicago, Chicago, The, 1939.
[3] Kuhn, M. “The Karush-Kuhn-Tucker theorema”, Internet: http://smp.if.uj.edu.pl/~kopiec/MT/Materialy/KarushKuhnTucker.pdf, CDSEM Uni. Mannheim, 2006.
[4]McCarl, B. og Spreen, T., “Línuleg skilyrði Optimization”, Ch. 12, Hagnýt Stærðfræði Forritun Using Algebraic Systems. Internet: http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/thebook.pdf
[5]Eustaquio, R. Karas, Það. og Ribeiro, A. Þvingun HM fyrir línuleg forritun, Tech Report, Univ. í Parana.
[6] Koma, D. og Zalinescu, C. “Um nauðsyn sumra HM Þvingun skilyrði í kúptar Forritun”, Journal kúptar Greining, 11 (1), 2004. PP 95-110.

A Computer Science og kennsla Journal

Recent Posts

Karush-Kuhn-Tucker skilyrði

Þvingun Hæfni