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Karush - Kuhn - 터커 (KKT) 조건, 가끔 Kuhn - 터커 조건으로 함, 조건 최적하기 위해 비선형 프로그래밍 문제가 충족해야한다는 점입니다. KKT 조건 부등식의 제약함으로써 Lagrangian 배율의 방법을 확장, 로만 평등 제약을 허용 라그랑지 배율 반대.

우리는 비선형 최적화 문제를 고려해 보자:

최소화 $f(x)$
에 따라: $g_{i}(x)\leq 0 \\ h_{j}(x) = 0$

우리는 드릴 것입니다 $x^{*}$ 우리의 문제에 대한 상대 최소 지점을 나타냅니다, 그것도 몇 가지 제약 자격을 만족. 이걸로, 그러면 우리는 모든 요소에 대한 벡터가 존재한다는 것을 추정할 수 $\lambda_j \left ( j = 1, \ldots, l \right )$ , 어디에 리터 평등 제약의 수를 나타냅니다, 및 $\mu_i\left ( i = 1, \ldots, m \right )$ , 어디에 m 불평등 제약의 수를 나타냅니다. 이 상수, $\lambda_j$ 및 $\mu_i$ , KKT 배율이라고.

비선형 프로그래밍 문제에서 개최되는 KKT 조건 위해서 (NLP), 다음 세 조건 각각이 충족되어야합니다 [1-4]. 문제가 무엇 상태가 불안한 타당성 restates, 그 불평등 및 평등 제약 $x^*$ 최적의 수 문제 위해서는 충족되어야합니다:

$\left.\begin{matrix} h\left ( x^* \right )=0\\ g\left ( x^* \right )\leq0 \end{matrix}\right\} \textrm{primal feasibility (PF)}$

두 번째 조건은 이중 타당성 조건으로 알려져 있습니다. 이 조건 상태에서, 오히려 verbosely, 거기에 모든 요소 $\mu_i$ 0보다 커야합니다, 그리고 문제의 stationarity은 동일해야 0.

$\left.\begin{matrix} \bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0\\ \lambda_i \in \mathbb{R}\\ \mu_i \geq 0 \end{matrix}\right\}\textrm{dual feasibility (DF)}$

문제의 stationarity입니다:

$\bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0$

다른 두 사람은 단순히 조건있는 동안 리터 및 m 위해서는 충족해야합니다 $x^*$ 최적의 수.

충족되어야합니다 세 번째 조건은 보완 slackness으로 알려져 있습니다. 이 조건은 단순히 각각의 무 및 각 불평등의 제약에 대해 그 상태, 두 제품은 제로가 될:

$\mu_i g_{i} \left ( x^* \right ) = 0$

이 세 조건으로하는 경우, 우리는 KKT 조건과 우리의 솔루션이, $x^*$ , NLP 문제에 대한 최적의 솔루션입니다. 이보다 더 많을 수도 있고 엑스 조건을 충족 공간에. 문제 공간에서 언제 어디의 모든 요소리터과m, 등 그 튜플 (엑스, 리터, m) KKT 조건을 충족은 KKT 포인트라고합니다. 이러한 제약의 유도가에서 찾을 수 있습니다 [1,2]

제약 자격

마찬가지로 앞서 언급한, 우리가 테스트되는 포인트는 고려해야 할 지점 위해서는 몇 가지 자격을 충족해야. 가장 잘 알려진 제약 자격은 선형 독립 제약 자격입니다 (LICQ), 이것은 단순히 그 상태 $h_{j}(x^*)$ 및 $g_{i}(x^*)$ 지점에서 다른에서 선형 독립 $x^*$ . Mangasarian - Fromovitz 제약 자격 (MFCQ) 미국에서 긍정적인 - lineraly 독립되는 추가와 마찬가지로 LICQ $x^*$ . [5]

LICQ 휴식을 취하 그러나 다른 제약 예선이 있습니다. 슬레이터의 제약 자격을 갖춘 사람은 볼록 문제에서 사용할 수. 이러한 포인트 X를가 존재하는 경우 $h_{j}(x^*) =$ 및 $g_{i}(x^*) < 0$ 모든 I에 대한,J 활성화에 $x^*$ , 다음 슬레이트 조건 보유. [5,6]

제약 예선의 다른 유형의 존재, 그런데 세 이들은 가장 일반적으로 KKT 자격에 사용되는 것.

[1] Kuhn, H. 그리고 터커, A., “비선형 프로그래밍” 2 버클리 심포지엄의 절차 1951, 폴리 프로필렌. 481-492.
[2] Karush, W., “사이드 제약으로 불평등 여러 변수의 기능의 Minima”. M. SC. 학술 논문, 대학교. of Chicago, 시카고, Il, 1939.
[3] Kuhn, M. “Karush - Kuhn - 터커 정리”, 인터넷: http://smp.if.uj.edu.pl/~kopiec/MT/Materialy/KarushKuhnTucker.pdf, CDSEM 왕국. 만하임, 2006.
[4]McCarl, B 조. 그리고 Spreen, T., “비선형 최적화 조건”, 채널. 12, 대수적 시스템을 사용하여 응용 수학 프로그래밍. 인터넷: http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/thebook.pdf
[5]Eustaquio, 연구. Karas, 이메일. 리베과, A. 비선형 프로그래밍을위한 제약 자격, 기술 보고서, 대학교. 파라나의.
[6] 도착, D. 그리고 Zalinescu, C 조. “볼록한 프로그래밍에서 일부 제약 자격 조건의 필요성에 대한”, 볼록 분석 학회지, 11 (1), 2004. 폴리 프로필렌 95-110.

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