kReese.net

Karush - Kuhn - Tucker (EZ) เงื่อนไข, บางครั้งเรียกว่าเงื่อนไขที่ Kuhn - Tucker, เงื่อนไขที่จะว่าปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพื่อตอบสนองความต้องการในการที่จะดีที่สุด. เงื่อนไข KKT ขยายวิธีการของตัวคูณ Lagrangian โดยการอนุญาตให้สำหรับข้อ จำกัด ไม่เท่าเทียมกัน, ตรงข้ามกับตัวคูณ Lagrange เท่านั้นที่อนุญาตให้มีข้อ จำกัด เสมอภาค.

ขอให้เราพิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้น:

ลด $f(x)$
เรื่องที่: $g_{i}(x)\leq 0 \\ h_{j}(x) = 0$

เราจะแจ้งให้ $x^{*}$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์สำหรับปัญหาของเรา, ซึ่งยังตอบสนองคุณสมบัติข้อ จำกัด บางอย่าง. ด้วยวิธีนี้, แล้วเราสามารถสรุปได้ว่าสำหรับทุกธาตุมีอยู่เวกเตอร์ $\lambda_j \left ( j = 1, \ldots, l \right )$ , ที่ l หมายถึงจำนวนของข้อ จำกัด เสมอภาค, และ $\mu_i\left ( i = 1, \ldots, m \right )$ , ที่ เมตร หมายถึงจำนวนของข้อ จำกัด ไม่เสมอภาค. ค่าคงที่เหล่านี้, $\lambda_j$ และ $\mu_i$ , จะเรียกว่าตัวคูณ KKT.

ในการสั่งซื้อสำหรับเงื่อนไข KKT ที่จะจัดขึ้นในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (NLP), แล้วแต่ละสามเงื่อนไขจะต้องพบ [1-4]. restates Primal ความเป็นไปได้สิ่งที่เป็นปัญหาของรัฐ, ที่ความไม่เท่าเทียมกันและข้อ จำกัด เกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน $x^*$ จะต้องพบในการสั่งซื้อสำหรับปัญหาที่จะดีที่สุด:

$\left.\begin{matrix} h\left ( x^* \right )=0\\ g\left ( x^* \right )\leq0 \end{matrix}\right\} \textrm{primal feasibility (PF)}$

เงื่อนไขที่สองเป็นที่รู้จักกันเป็นเงื่อนไขความเป็นไปได้สอง. ในการนี้รัฐสภาพ, ค่อนข้าง verbosely, ที่ในทุกองค์ประกอบ $\mu_i$ จะต้องมีค่ามากกว่าศูนย์, และที่ stationarity ของปัญหาที่จะต้องเท่ากับ 0.

$\left.\begin{matrix} \bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0\\ \lambda_i \in \mathbb{R}\\ \mu_i \geq 0 \end{matrix}\right\}\textrm{dual feasibility (DF)}$

stationarity ของปัญหาคือ:

$\bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0$

ขณะที่อีกสองตัวจะเป็นเพียงเงื่อนไขที่ l และ เมตร ต้องตรงตามความในคำสั่งสำหรับ $x^*$ ให้เหมาะสม.

เงื่อนไขที่สามที่จะต้องพบเรียกได้ว่าเป็นความสะเพร่าที่สมบูรณ์. เงื่อนไขนี้เพียงแค่ระบุว่าสำหรับแต่ละ MU ความไม่เท่าเทียมกันและข้อ จำกัด ตามลำดับ, ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองที่ควรจะส่งผลในศูนย์:

$\mu_i g_{i} \left ( x^* \right ) = 0$

เมื่อทั้งสามเงื่อนไขตรง, เรามีตามเงื่อนไข KKT และแก้ปัญหาของเรา, $x^*$ , เป็นทางออกที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้น NLP. อาจจะมีมากกว่าหนึ่ง x ในพื้นที่ซึ่งตรงตามเงื่อนไขที่. จุดในพื้นที่มีปัญหาใด ๆ ที่ทุกองค์ประกอบของlและเมตร, ดังกล่าวว่า tuple ที่ (x, l, เมตร) ตามเงื่อนไข KKT จะเรียกว่าจุด KKT. แหล่งที่มาของข้อ จำกัด เหล่านี้สามารถพบได้ใน [1,2]

คุณสมบัติข้อ จำกัด

เป็นที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้, จุดที่เรากำลังทดสอบต้องเป็นไปตามคุณสมบัติในการสั่งซื้อบางส่วนสำหรับการชี้ไปที่จะพิจารณา. คุณสมบัติข้อ จำกัด ที่รู้จักกันดีที่สุดคือความเป็นอิสระเชิงเส้นข้อ จำกัด วุฒิการศึกษา (Licq), ซึ่งก็ระบุว่า $h_{j}(x^*)$ และ $g_{i}(x^*)$ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากที่จุดอื่น ๆ $x^*$ . คุณสมบัติข้อ จำกัด Mangasarian - Fromovitz (MFCQ) ในทำนองเดียวกันรัฐ LICQ ด้วยนอกเหนือจากการเป็น positive - lineraly อิสระ ณ วันที่ $x^*$ . [5]

อื่น ๆ แต่มีข้อ จำกัด ที่มีสิทธิผ่อนคลาย LICQ ที่มี. คัดเลือกข้อ จำกัด ตำหนิสามารถใช้ในการแก้ปัญหานูน. ถ้ามี x ที่จุดดังกล่าวว่า $h_{j}(x^*) =$ และ $g_{i}(x^*) < 0$ สำหรับฉัน,j การใช้งานใน $x^*$ , แล้วสภาพที่ถือกระดานชนวน. [5,6]

ประเภทอื่น ๆ ของผู้มีสิทธิข้อ จำกัด ที่ทำอยู่, แต่ที่สามเหล่านี้ดูเหมือนจะใช้กันมากที่สุดใน KKT คุณวุฒิ.

[1] Kuhn, H. และ Tucker, A., “การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น” การดำเนินการของการประชุมวิชาการครั้งที่ 2 ในเบิร์กลีย์ 1951, PP. 481-492.
[2] Karush, ดับบลิว, “minima ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายกับอสมการเป็นข้อ จำกัด ด้านข้าง”. M. Sc. วิทยานิพนธ์, ม.. จากชิคาโก, ชิคาโก, Il, 1939.
[3] Kuhn, M. “Karush - Kuhn - Tucker theorema”, อินเทอร์เน็ต: http://smp.if.uj.edu.pl/~kopiec/MT/Materialy/KarushKuhnTucker.pdf, ยูเนี่ยน CDSEM. มันไฮม์, 2006.
[4]McCarl, B. และ Spreen, ต., “เงื่อนไขการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้น”, Ch. 12, โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ระบบพีชคณิต. อินเทอร์เน็ต: http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/thebook.pdf
[5]Eustaquio, R. Karas, มัน. และ Ribeiro, A. คุณสมบัติข้อ จำกัด สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น, รายงานเทค, ม.. จาก Parana.
[6] มาถึง, D. และ Zalinescu, C. “เกี่ยวกับความจำเป็นของบางเงื่อนไขคุณสมบัติข้อ จำกัด ในการเขียนโปรแกรมนูน”, วารสารการวิเคราะห์กระจกนูน, 11 (1), 2004. PP 95-110.

วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และวารสารการเรียนการสอน

โพสต์ล่าสุด

เงื่อนไข Karush - Kuhn - Tucker

คุณสมบัติข้อ จำกัด