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Karush的Kuhn - Tucker (KKT) 条件, 有时被称为的Kuhn - Tucker条件, 是一个非线性规划问题，需要满足以最佳的条件. KKT条件不等式约束，从而扩展拉格朗日乘子法, 而不是只允许等式约束的拉格朗日乘子.

让我们考虑一个非线性优化问题:

减少 $f(x)$
受: $g_{i}(x)\leq 0 \\ h_{j}(x) = 0$

我们将让 $x^{*}$ 代表了我们的问题相对最低点, 这也满足了一些限制资格. 有了这个, 然后，我们可以假设，为每个元素存在向量 $\lambda_j \left ( j = 1, \ldots, l \right )$ , 其中升代表等式约束, 和 $\mu_i\left ( i = 1, \ldots, m \right )$ , 其中米不等式约束. 这些常数, $\lambda_j$ 和 $\mu_i$ , 是所谓的KKT乘法器.

为了在非线性规划问题的KKT条件 (NLP), 然后必须满足三个条件 [1-4]. 原始可行性重申了什么问题，国, 不平等和平等的制约 $x^*$ 必须满足的问题是最佳:

$\left.\begin{matrix} h\left ( x^* \right )=0\\ g\left ( x^* \right )\leq0 \end{matrix}\right\} \textrm{primal feasibility (PF)}$

第二个条件是被称为双可行性条件. 在这种情况下国家, 而冗长, 每一个元素 $\mu_i$ 必须大于零, 和问题的平稳必须等于 0.

$\left.\begin{matrix} \bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0\\ \lambda_i \in \mathbb{R}\\ \mu_i \geq 0 \end{matrix}\right\}\textrm{dual feasibility (DF)}$

问题的平稳:

$\bigtriangledown f\left ( x^* \right ) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\bigtriangledown h_{i}\left ( x^* \right ) + \sum_{j=1}^{l}\mu_{j}\bigtriangledown g_{j}\left ( x^* \right ) = 0$

而其他两个根本条件升和米必须为了满足 $x^*$ 为最优.

必须满足第三个条件是被称为互补松弛. 这种情况只是国家，每个亩，其各自的不等式约束, 两个产品应该导致零:

$\mu_i g_{i} \left ( x^* \right ) = 0$

当这三个条件是, 我们已与KKT条件和我们的解决方案, $x^*$ , 为NLP问题的最佳解决方案. 可能有多个 x 在符合条件的空间. 在问题空间中的任何一点，每一个元素升和米, 这样的元组 (x, 升, 米) 满足KKT条件是所谓的KKT点. 这些制约因素的推导中可以找到 [1,2]

约束资格

如前所述, 测试点，我们需要满足一些要考虑的点，以便资格. 最知名的约束资格是线性独立约束资格 (LICQ), 简单地指出， $h_{j}(x^*)$ 和 $g_{i}(x^*)$ 是线性无关的，从其他点 $x^*$ . Mangasarian Fromovitz约束资格 (MFCQ) 同样，除了积极lineraly独立LICQ $x^*$ . [5]

但是其他的约束预选赛，放宽LICQ. 斯莱特约束限定符可用于凸问题. 如果存在这样一个点的x $h_{j}(x^*) =$ 和 $g_{i}(x^*) < 0$ 对所有的i,j活跃在 $x^*$ , 然后在石板条件成立. [5,6]

其他类型的约束预选赛确实存在, 但这些似乎是最常用的KKT资格.

[1] 库恩, H. 和Tucker, A。, “非线性规划” 第二伯克利的诉讼研讨会 1951, 页. 481-492.
[2] Karush, W。, “几个变量的函数的极小值方面的制约因素的不平等”. M.钪. 论文, 大学. of Chicago, 芝加哥, 该, 1939.
[3] 库恩, M. “Karush -库恩 - 塔克定理”, 互联网: http://smp.if.uj.edu.pl/~kopiec/MT/Materialy/KarushKuhnTucker.pdf, CDSEM王国. 曼海姆, 2006.
[4]McCarl, 乙. 和Spreen, T。, “非线性优化条件”, 总. 12, 应用数学编程使用代数系统. 互联网: http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/thebook.pdf
[5]Eustaquio, ř. 卡拉斯, é. 里贝罗和, 一. 非线性规划约束的资格, 技术报告, 大学. 在巴拉那.
[6] 到达, ð. 和Zalinescu, ç. “在一些约束凸规划资质条件的必要性”, 凸分析, 11 (1), 2004. 页 95-110.

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